解説

速度勾配テンソル ${}^{t} [ L ]$ を加算分解し、 対称部分と反対称部分に分けると、

$${}^{t} [ L ] = \mathrm{sym} \; { {}^{t} [ L ] } + \mathrm{asym} \; { {}^{t} [ L ] } = {}^{t} [ D ] + {}^{t} [ W ]$$ (6.59)

$$\mathrm{tr} \; {}^{t} [ D ] = \mathrm{tr} \; {}^{t} [ L ]$$ (6.60)

相対変形勾配 ${}_{t}^{\tau} [ F ]$ の極分解を時間微分すると、

$${}^{t} [ L ] = {}_{t}^{t} [ \dot{F} ] = {}_{t}^{t} [ \dot{R} ] + {}_{t}^{t} [ \dot{U} ] = {}_{t}^{t} [ \dot{V} ] + {}_{t}^{t} [ \dot{R} ]$$ (6.61)

変形速度 ${}^{t} [ D ]$ は

$${}^{t} [ D ] = {}_{t}^{t} [ \dot{U} ] = {}_{t}^{t} [ \dot{V} ]$$ (6.62)

スピン ${}^{t} [ W ]$ は、

$${}^{t} [ W ] = {}_{t}^{t} [ \dot{R} ]$$ (6.63)

また、変形速度、スピンと、 変形勾配 ${}_{o}^{t} [ F ]$ の右極分解による ${}_{o}^{t} [ U ]$ 、 ${}_{o}^{t} [ R ]$ との関係は、

$${}^{t} [ D ] = 1/2 {}_{o}^{t} [ R ] \cdot ( {}_{o}^{t} [ \dot{U} ... ...}^{t} [ U ] } ^ { -1 } \cdot {}_{o}^{t} [ \dot{U} ] ) \cdot {}_{o}^{t} [ R ] ^T$$ (6.64)

$${}^{t} [ W ] = {}_{o}^{t} [ \Omega ] + 1/2 {}_{o}^{t} [ R ] \cdot... ...}^{t} [ U ] } ^ { -1 } \cdot {}_{o}^{t} [ \dot{U} ] ) \cdot {}_{o}^{t} [ R ] ^T$$ (6.65)

ここで、

$${}_{o}^{t} [ \Omega ] = {}_{o}^{t} [ \dot{R} ] \cdot { {}_{o}^{t} [ R ] } ^ { -1 }$$ (6.66)

は剛体スピンと呼ばれ、時刻 $t = 0$ の基準配置からの 剛体回転 ${}_{o}^{t} [ R ]$ による現時刻 $t$ での物質点のスピンを表す。