応力テンソルと平衡方程式

Cauchy応力テンソル Cauchy stress tensor ${}^{t} [ \sigma ]$ 、 あるいは真応力 true stress は 対称テンソルであり、 これは未知量である。 $\sigma_{ij}$ については、 $i$ は面の方向を、 $j$ はその成分の力の向きを表わす。

Cauchy応力テンソルは、実数の主値（主応力 principal stress）と 主軸（主方向 principal direction）、主不変量を持つ。

${}^{t} \sigma_{ii}$ （ $i$ について和をとらない）を垂直応力 normal stress、 ${}^{t} \sigma_{ij} (i \neq j)$ をせん断応力 shear stressと呼ぶ。

平均応力 mean stress ${}^{t} \sigma^m$ または 静水応力 hydrostatic stress は、

$${}^{t} \sigma^m = 1/3 \mathrm{tr} \; {}^{t} [ \sigma ]$$ (6.93)

これは未知量である。

偏差応力テンソル deviatoric stress tensor ${}^{t} [ \sigma^{\prime} ]$ は、

$${}^{t} [ \sigma^{\prime} ] = {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} \sigma^m [ I ]$$ (6.94)

これは未知量である。

偏差応力テンソルについて、 主偏差応力、主方向、主不変量（第１不変量は０）が定義できる。

Kirchhoff応力テンソル Kirchhoff stress tensor ${}_{o}^{t} [ \tau ]$ は、 対称テンソルであり、 時刻 $o$ の基準配置から時刻 $t$ の現配置において、

$${}_{o}^{t} [ \tau ] = {}_{o}^{t} J {}^{t} [ \sigma ]$$ (6.95)

これは未知量である。

第１Piola-Kirchhoff応力テンソル first Piola-Kirchhoff stress tensor ${}_{o}^{t} [ \Pi ]$ 、 あるいは公称応力 nominal stress は、 一般に、非対称テンソルであり、 時刻 $o$ の基準配置から時刻 $t$ の現配置において、

$${}_{o}^{t} [ \Pi ] = {}_{o}^{t} J { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -1 } \cdot {}^{t} [ \sigma ]$$ (6.96)

これは未知量である。

第２Piola-Kirchhoff応力テンソル second Piola-Kirchhoff stress tensor ${}_{o}^{t} [ S ]$ は、 対称テンソルであり、 時刻 $o$ の基準配置から時刻 $t$ の現配置において、

$${}_{o}^{t} [ S ] = {}_{o}^{t} J { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -1 } \cdot {}^{t} [ \sigma ] \cdot { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -T }$$ (6.97)

これは未知量である。