応力歪み関係

updated Lagrange法に基づく応力歪み関係は、 材料の線形非線型を問わず、増分型の構成式が用いられる。

もし、構成式に相対Kirchhoff応力のJaumann速度 ${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ]$ を用いる場合、 Truesdel応力速度に対応する増分は、

$$\mathrm{d} {}_{t}^{t} [ S ]$$

$$= {}_{t}^{t} [[ C ]] : ( \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] - \mathrm{d} t {}^{t} [ D^o ] )$$

$$- \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] + \mathrm{d} {}^{t} [ \sigma^o ]$$ (7.61)

ここで、 $\mathrm{d} {}_{t}^{t} [ S ]$ は応力増分 （Truesdel応力速度、相対第２Piola-Kirchhoff応力の固有時間微分に対応）、 $\mathrm{d} t {}^{t} [ D^o ] = \mathrm{d} {}_{t}^{t} [ E ]$ は歪み増分 （変形速度、相対Green-Lagrange歪みの固有時間微分に対応）、 $\mathrm{d} {}^{t} [ \sigma^o ]$ は初期応力増分、 $\mathrm{d} t {}^{t} [ D^o ]$ は初期歪み増分、 ${}_{t}^{t} [[ C ]]$ は構成則テンソル である。 このとき、接線剛性行列は対称になる。

もし、構成式にCauchy応力のJaumann速度 ${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ]$ を用いる場合、 Truesdel応力速度に対応する増分は、

$$\mathrm{d} {}_{t}^{t} [ S ]$$

$$= {}_{t}^{t} [[ C ]] : ( \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] - \mathrm{d} t {}^{t} [ D^o ] )$$

$$- \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \s... ... \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ] + \mathrm{d} {}^{t} [ \sigma^o ]$$ (7.62)

このとき、接線剛性行列は非対称になる。

どちらの場合にも、 Cauchy応力増分 $\mathrm{d} {}^{t} [ \sigma ]$ は、

$$\mathrm{d} {}^{t} [ \sigma ]$$

$$= {}_{t}^{t} [[ C ]] : ( \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] - \mathrm{d} t {}^{t} [ D^o ] )$$

$$- ( \mathrm{tr} \; \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ] ... ...{t} [ \sigma ] \cdot \mathrm{d} t {}^{t} [ W ] + \mathrm{d} {}^{t} [ \sigma^o ]$$ (7.63)

ここで、 $\mathrm{d} t {}^{t} [ W ]$ はスピンに対応する回転増分である。