解説

微小変形微小歪み問題を有限変形微小歪み問題に拡張する。

微小歪みテンソル ${}^{t} [ \epsilon ]$ を Almansi歪みテンソル ${}^{t} [ A ]$ に置き換える。 すると（初期歪みと初期応力を無視する）、

$${}^{t} [ \sigma ] = {}_{t}^{t} [[ C ]] : {}^{t} [ A ]$$ (7.64)

またその速度形（客観速度としてJaumann速度を使用）は、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] = {}_{t}^{t} [[ C ]] : {}^{t} [ \grave{ A^J } ]$$ (7.65)

有限変形微小歪み問題を仮定すると、 各種の応力や歪みの客観速度は同一視できる （式 6.116 および 6.83 参照）。

$${}^{t} [ \grave{ A^J } ] \simeq {}^{t} [ \grave{ A^O } ] \simeq {}^{t} [ \grave{ A^C } ]$$ (7.66)

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] \simeq {}^{t} [ \grave{ \sigma^O } ] \simeq {}^{t} [ \grave{ \sigma^C } ]$$ (7.67)

また、弾性変形速度テンソル ${}^{t} [ D ]$ との関係 （式 6.71 参照）より、

$${}^{t} [ \grave{ A^C } ] = {}^{t} [ D ]$$ (7.68)

したがって、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] \simeq {}_{t}^{t} [[ C ]] : {}^{t} [ D ]$$ (7.69)

さらに、対象が金属材料の場合、 一般に弾性歪みは微小であり、 また塑性歪みの体積変化成分がないので、 Cauchy応力のJaumann速度 ${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ]$ と 相対Kirchhoff応力のJaumann速度 ${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ]$ との差 $( \mathrm{tr} \; {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ]$ は微小である。 したがって、剛性行列を対称にするために これらを置き換えることが出来る。

$${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ] \simeq {}_{t}^{t} [[ C ]] : {}^{t} [ D ]$$ (7.70)

Truesdel応力速度 ${}_{t}^{t} [ \dot{S} ]$ との関係は、 式 6.113 より、

$${}_{t}^{t} [ \dot{S} ] = {}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ]$$

$$= {}_{t}^{t} [[ C ]] : {}^{t} [ D ] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ]$$ (7.71)

次に、応力積分の取り扱いについて述べる。 有限変形微小歪み問題では、応力速度として 相対Kirchhoff応力のJaumann速度（共回転速度）を用いているので、 微小変形微小歪み問題を仮定した応力積分により計算された 応力増分 ${}^{t + \Delta t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ]$ は、 共回転成分での増分 $\Delta [ \sigma^J ]$ である。 これからCauchy応力の固有時間微分の増分 $\Delta [ \sigma ]$ を評価するには、 Cauchy応力の固有時間微分とCauchy応力のJaumann速度（共回転速度）との関係式 6.105 と Cauchy応力のJaumann速度と相対Kirchhoff応力のJaumann速度との関係式 6.110 を用いる。