next up previous contents
: 実装 : ２階のテンソル（テンソル） : 解説   目次

２次主不変量 $II_{ [ X ] }$

２次主不変量は、算術演算として実装できる。


$\displaystyle II_{ [ X ] } = 1/2 \{ ( \mathrm{tr} \; [ X ] ) ^ { 2 } - ( \mathrm{tr} \; { [ X ] } ^ { 2 } ) \}$     (4.102)

すなわち、


$\displaystyle II_{ [ X ] }$ $\textstyle =$ $\displaystyle ( X_{00} X_{11} + X_{11} X_{22} + X_{22} X_{00} )$  
    $\displaystyle - ( X_{01} X_{10} + X_{12} X_{21} + X_{20} X_{02} )$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle ( X_{xx} X_{yy} + X_{yy} X_{zz} + X_{zz} X_{xx} )$  
    $\displaystyle - ( X_{xy} X_{yx} + X_{yz} X_{zy} + X_{zx} X_{xz} )$ (4.103)

もし、 $ [ X ] $ が対称テンソルの場合には、


$\displaystyle II_{ [ X ] }$ $\textstyle =$ $\displaystyle ( X_{00} X_{11} + X_{11} X_{22} + X_{22} X_{00} )$  
    $\displaystyle - ( ( X_{01} ) ^ { 2 } + ( X_{12} ) ^ { 2 } + ( X_{20} ) ^ { 2 } )$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle ( X_{xx} X_{yy} + X_{yy} X_{zz} + X_{zz} X_{xx} )$  
    $\displaystyle - ( ( X_{xy} ) ^ { 2 } + ( X_{yz} ) ^ { 2 } + ( X_{zx} ) ^ { 2 } )$ (4.104)



Hiroshi KAWAI 平成15年8月11日