Fourieの法則

三次元問題では、熱流束ベクトルのテンソル標記式 1.1 がそのまま成り立つ。 ベクトル量やテンソル量は三次元のものを用いる。

これを成分標記すると、

$${}^{t} q_x = - \lambda_{xx} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial x } - \lambda... ...}^{t} T }{ \partial y } - \lambda_{zx} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial z }$$

$${}^{t} q_y = - \lambda_{xy} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial x } - \lambda... ...}^{t} T }{ \partial y } - \lambda_{yz} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial z }$$

$${}^{t} q_z = - \lambda_{zx} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial x } - \lambda... ...}^{t} T }{ \partial y } - \lambda_{zz} \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial z }$$ (2.1)

したがって、上記のマトリクス標記は、

$${}^{t} \{ \mathbf{ q } \} = - [ \mathbf{ \lambda } ] {}^{t} \{ \mathbf{ \frac{ \partial T }{ \partial \{ x \} } } \}$$ (2.2)

ここで、 ${}^{t} \{ \mathbf{ q } \}$ は熱流束の列ベクトルであり、 そのサイズは3x1である。

$${}^{t} \{ \mathbf{ q } \} = { \left \langle \begin{array}{ccc} {}^{t} q_x & {}^{t} q_y & {}^{t} q_z \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (2.3)

$[ \mathbf{ \lambda } ]$ は熱伝導の行列であり、 そのサイズは3x3であり、対称行列である。

$$[ \mathbf{ \lambda } ] = \left[ \begin{array}{ccc} \lambda_{xx} &... ...bda_{yz} \\ \lambda_{zx} & \lambda_{yz} & \lambda_{zz} \\ \end{array} \right]$$ (2.4)

${}^{t} \{ \mathbf{ \frac{ \partial T }{ \partial \{ x \} } } \}$ は温度勾配の列ベクトルであり、 そのサイズは3x1である。

$${}^{t} \{ \mathbf{ \frac{ \partial T }{ \partial \{ x \} } } \} =... ...& \frac{ \partial {}^{t} T }{ \partial z } \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (2.5)