解説

${}^{t} \{ x \}$ と $\{ X \}$ との関係は、

$${}^{t} \{ x \} = \{ x \} ( \! ( \{ X \} , t ) \! )$$ (6.4)

したがって、その逆関係が存在し、

$$\{ X \} = \{ X \} ( \! ( {}^{t} \{ x \} , t ) \! )$$ (6.5)

基準時刻 $t = o$ では、

$${}^{o} \{ x \} = \{ X \}$$ (6.6)

連続体における任意の物理量 ${}^{t} A$ の場 field とその変化を $A ( \! ( \{ X \} , t ) \! )$ または $A ( \! ( {}^{t} \{ x \} , t ) \! )$ で表すことができる。 前者を物質表示 material description またはLagrange表示、 後者を空間表示 spatial description またはEuler表示と呼ぶ。

物理量 ${}^{t} A$ の場の時間微分として、 物質時間導関数 material time derivative $\frac{ \partial A ( \! ( \{ X \} , t ) \! ) }{ \partial t }$ と 空間時間導関数 spatial time derivative $\frac{ \partial A ( \! ( {}^{t} \{ x \} , t ) \! ) }{ \partial t }$ とがある。 固体力学では主に前者が用いられ、 $\frac{ \partial {}^{t} A }{ \partial t }$ または ${}^{t} \dot{A}$ として表す。

速度ベクトル ${}^{t} \{ v \}$ は、 物質点 $\{ X \}$ の現時刻 $t$ での位置ベクトル ${}^{t} \{ x \}$ の 物質時間導関数であり、 これはまた、変位ベクトル ${}^{t} \{ u \}$ の物質時間導関数でもある。 加速度ベクトル ${}^{t} \{ a \}$ はこの物質時間導関数である。