解説

材料非線形問題の解法には、一般に増分法が用いられる。 増分法では、 時刻 $t$ の時点で釣り合いが達成されている状態からスタートして、 時刻 $t + \Delta t$ の時点での釣り合い条件を求める。

時刻 $t$ の時点ではすべての物理量が既知であるとする。 一方、時刻 $t + \Delta t$ の時点では外力のみが既知である。 そこで、時刻 $t$ での接線剛性を求め、 そこからまず、 未知数である時刻 $t$ から 時刻 $t + \Delta t$ への変位増分を求め、 続いて、歪み増分および応力増分を順次求めていくことになる。

この過程は一般的に非線型である。 増分幅 $\Delta t$ が大きければ、 接線剛性を時刻 $t$ で評価しているので、 一回では釣り合いがとれないことが多い。 そこで、静的／動的陰解法のように、 不釣り合い力に基づいて変位増分を更新し、 不釣り合い力が十分小さくなるまで この過程を繰り返す手法がとられることが多い。

あるいは、静的／動的陽解法のように、 増分ステップごとに一度だけ変位増分を求め、 そのかわり、逆に増分幅 $\Delta t$ を十分小さくとって、 不釣り合い誤差が無視できるようにする方法もありうる。

式 7.12 より、 時刻 $t + \Delta t$ における微小変形問題の仮想仕事の原理式は、

$$\int_V {}^{t + \Delta t} [ \sigma ] : \delta {}^{t + \Delta t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V = \delta {}^{t + \Delta t} R$$ (7.15)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_V {}^{t + \Delta t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \... ...} {}^{t + \Delta t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$= - \int_V \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.16)

ここで、 $\delta {}^{t} \{ u \}$ は仮想変位、 $\delta {}^{t} [ \epsilon ]$ は仮想歪み である。

まず、上式を増分分解する。

変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ を増分分解すると、

$${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$$ (7.17)

ここで、 $\Delta \{ u \}$ は変位増分である。

歪み ${}^{t + \Delta t} [ \epsilon ]$ を増分分解すると、

$${}^{t + \Delta t} [ \epsilon ] = {}^{t} [ \epsilon ] + \Delta [ \epsilon ]$$ (7.18)

ここで、 $\Delta [ \epsilon ]$ は歪み増分である。

これら変位および歪みの変分をとると、

$$\delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} = \delta \Delta \{ u \}$$ (7.19)

$$\delta {}^{t + \Delta t} [ \epsilon ] = \delta \Delta [ \epsilon ]$$ (7.20)

また、応力を増分分解すると、

$${}^{t + \Delta t} [ \sigma ] = {}^{t} [ \sigma ] + \Delta [ \sigma ]$$ (7.21)

ここで、 $\Delta [ \sigma ]$ は応力増分である。

以上より、増分型の仮想仕事式は、

$$\int_V \Delta [ \sigma ] : \delta \Delta [ \epsilon ] \mathrm{d} ... ...Delta t} R - \int_V {}^{t} [ \sigma ] : \delta \Delta [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (7.22)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_V {}^{t + \Delta t} \{ b \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mat... ...t_{S^{dist}} {}^{t + \Delta t} \{ t \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$= - \int_V \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.23)

次に、非線型項である最右辺の接線係数を求める。

まず、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta [ \sigma ] }{ \Delta t } \to {}^{t} [ \dot{\sigma} ]$$ (7.24)

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta \{ u \} }{ \Delta t } \to {}^{t} \{ \dot{u} \}$$ (7.25)

したがって、接線係数は、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \int_V \Delta [ \sigma ] : \delta \Delta [ \epsilon ] \mathrm{d} V }{ \Delta t }$$

$$\to \int_V {}^{t} [ \dot{\sigma} ] : \delta \Delta [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (7.26)

さらに、 応力増分の式 7.14 より、 これを増分形にして、

$$\int_V {}^{t} [[ C ]] : \mathrm{d} {}^{t} [ \epsilon ] : \delta \Delta [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (7.27)

なお、ここで用いられている変数としては、 材料定数、 時刻 $t$ でのすべての状態変数および、 荷重 ${}^{t + \Delta t} \{ b \}$ 、 ${}^{t + \Delta t} \{ t \}$ ${}^{t + \Delta t} [ \epsilon^o ]$ 、 ${}^{t + \Delta t} [ \sigma^o ]$ は既知であり、 ${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$ 、 ${}^{t + \Delta t} \{ a \}$ は未知であり、 一方、 $\delta \Delta \{ u \}$ は任意の値をとり、 $\delta \Delta [ \epsilon ]$ は $\delta \Delta \{ u \}$ より導出される。

また、 時刻 $t + \Delta t$ での 変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ 、 応力 ${}^{t + \Delta t} [ \sigma ]$ については、 各増分ステップごとに得られた 変位増分 $\Delta \{ u \}$ 、 応力増分 $\Delta [ \sigma ]$ を用いて更新していく。