解説

式 7.37 より、 基準時刻 $t = o$ 、現時刻 $t + \Delta t$ における仮想仕事の原理式は、

$$\int_V {}_{o}^{t + \Delta t} [ S ] : \delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ E ] \mathrm{d} V = \delta {}^{t + \Delta t} R$$ (7.40)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_V {}_{o}^{t + \Delta t} \{ \tilde{b} \} \cdot \delta {}^{t +... ...+ \Delta t} \{ \tilde{t} \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$- \int_V {}^{o} \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.41)

$\delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ E ]$ は仮想Green-Lagrange歪みであり、 式 6.48 より、

$$\delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ E ]$$

$$= \mathrm{sym} \; { \delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ Z ] }$$

$$+ 1/2 ( { \delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ Z ] } ^ { T } \cdot {}_{... ...}_{o}^{t + \Delta t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ Z ] )$$ (7.42)

ここで、 $\delta {}_{o}^{t} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \delta {}^{t} \{ u \} }{ \partial \{ X \} } \right]$ は仮想変位勾配である。 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用いる。 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \delta {}^{t + \Delta t} u_x}{X}$ とする。

まず、上式を増分分解する。

変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ を増分分解すると、

$${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$$ (7.43)

ここで、 $\Delta \{ u \}$ は変位増分である。

Green-Lagrange歪み ${}_{o}^{t + \Delta t} [ E ]$ を増分分解すると、

$${}_{o}^{t + \Delta t} [ E ] = {}_{o}^{t} [ E ] + \Delta {}_{o} [ E ] = {}_{o}^{t} [ E ] + ( \Delta {}_{o} [ E^L ] + \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] )$$ (7.44)

$\Delta {}_{o} [ E^L ]$ はGreen-Lagrange歪み増分の線形部分であり、 式 6.48 より、

$$\Delta {}_{o} [ E^L ] = \mathrm{sym} \; { \Delta {}_{o} [ Z ] } +... ...dot {}_{o}^{t} [ Z ] + { {}_{o}^{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \Delta {}_{o} [ Z ] )$$ (7.45)

ここで、 $\Delta {}_{o} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \Delta \{ u \} }{ \partial \{ X \} } \right]$ は変位勾配増分である。 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用いる。 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \Delta u_x}{X}$ とする。

$\Delta {}_{o} [ E^{NL} ]$ はGreen-Lagrange歪み増分の非線形部分であり、 式 6.48 より、

$$\Delta {}_{o} [ E^{NL} ] = 1/2 { \Delta {}_{o} [ Z ] } ^ { T } \cdot \Delta {}_{o} [ Z ]$$ (7.46)

これら変位および歪みの変分をとると、

$$\delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} = \delta \Delta \{ u \}$$ (7.47)

$$\delta {}_{o}^{t + \Delta t} [ E ] = \delta \Delta {}_{o} [ E ] = \delta \Delta {}_{o} [ E^L ] + \delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ]$$ (7.48)

$$\delta \Delta {}_{o} [ E^L ] = \mathrm{sym} \; { \delta \Delta {}... ...{o}^{t} [ Z ] + { {}_{o}^{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{o} [ Z ] )$$ (7.49)

$$\delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] = 1/2 ( { \delta \Delta {}_{o} [ ... ..._{o} [ Z ] + { \Delta {}_{o} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{o} [ Z ] )$$ (7.50)

ここで、 $\delta \Delta {}_{o} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \delta \Delta \{ u \} }{ \partial \{ X \} } \right]$ は仮想変位勾配増分である。 $\delta \Delta {}_{o} [ E^L ]$ については、 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用い、 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \delta \Delta u_x}{X}$ とする。

また、第２Piola-Kirchhoff応力を増分分解すると、

$${}_{o}^{t + \Delta t} [ S ] = {}_{o}^{t} [ S ] + \Delta {}_{o} [ S ]$$ (7.51)

ここで、 $\Delta {}_{o} [ S ]$ は第２Piola-Kirchhoff応力増分である。

以上より、増分型の仮想仕事式は、

$$\int_V \Delta {}_{o} [ S ] : ( \delta \Delta {}_{o} [ E^L ] + \de... ...m{d} V + \int_V {}_{o}^{t} [ S ] : \delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] \mathrm{d} V$$

$$= \delta {}^{t + \Delta t} R - \int_V {}_{o}^{t} [ S ] : \delta \Delta {}_{o} [ E^L ] \mathrm{d} V$$ (7.52)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_V {}_{o}^{t + \Delta t} \{ \tilde{b} \} \cdot \delta \Delta ... ... {}_{o}^{t + \Delta t} \{ \tilde{t} \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$- \int_V {}^{o} \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.53)

次に、非線型項である最右辺の接線係数を求める。

まず、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta {}_{o} [ S ] }{ \Delta t } \to {}_{o}^{t} [ \dot{S} ]$$ (7.54)

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta \{ u \} }{ \Delta t } \to {}^{t} \{ \dot{u} \}$$ (7.55)

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta {}_{o} [ Z ] }{ \Delta t } \to {}_{o}^{t} [ \dot{Z} ]$$ (7.56)

したがって、接線係数は、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \int_V \Delta {}_{o} [ S ] : ( \de... ...V {}_{o}^{t} [ S ] : \delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] \mathrm{d} V }{ \Delta t }$$

$$\to \int_V {}_{o}^{t} [ \dot{S} ] : \delta \Delta {}_{o} [ E^L ] ... ...t_V {}_{o}^{t} [ S ] : ( \delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] )^{\cdot} \mathrm{d} V$$ (7.57)

ここで、

$$( \delta \Delta {}_{o} [ E^{NL} ] )^{\cdot} = 1/2 ( { \delta \Del... ...ot{Z} ] + { {}_{o}^{t} [ \dot{Z} ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{o} [ Z ] )$$ (7.58)

さらに、 応力増分の式 7.39 より、 これを増分形にして、

$$\int_V {}_{o}^{t} [[ C ]] : \mathrm{d} {}_{o}^{t} [ E ] : \delta \Delta {}_{o} [ E^L ] \mathrm{d} V$$

$$+ \int_V 1/2 {}_{o}^{t} [ S ] : ( { \delta \Delta {}_{o} [ Z ] } ... ...m{d} {}_{o}^{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{o} [ Z ] ) \mathrm{d} V$$ (7.59)

なお、ここで用いられている変数としては、 材料定数、 時刻 $t$ でのすべての状態変数および、 荷重 ${}_{o}^{t + \Delta t} \{ \tilde{b} \}$ 、 ${}_{o}^{t + \Delta t} \{ \tilde{t} \}$ は既知であり、 ${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$ 、 ${}^{t + \Delta t} \{ a \}$ は未知であり、 一方、 $\delta \Delta \{ u \}$ は任意の値をとり、 $\delta \Delta [ Z ]$ は $\delta \Delta \{ u \}$ より導出される。

また、 時刻 $t + \Delta t$ での 変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ 、 応力 ${}_{o}^{t + \Delta t} [ S ]$ については、 各増分ステップごとに得られた 変位増分 $\Delta \{ u \}$ 、 応力増分 $\Delta {}_{o} [ S ]$ を用いてそれぞれ更新していく。