解説

式 7.37 より、 基準時刻 $t = t$ 、現時刻 $t + \Delta t$ における仮想仕事の原理式は、

$$\int_{ {}^{t} v} {}_{t}^{t + \Delta t} [ S ] : \delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ E ] \mathrm{d} {}^{t} v = \delta {}^{t + \Delta t} R$$ (7.72)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_{ {}^{t} v} {}^{t + \Delta t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t + \... ... + \Delta t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} {}^{t} s$$

$$- \int_{ {}^{t} v} {}^{t + \Delta t} \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} \mathrm{d} {}^{t} v$$ (7.73)

$\delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ E ]$ は仮想Green-Lagrange歪みであり、 式 6.48 より、

$$\delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ E ]$$

$$= \mathrm{sym} \; { \delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ Z ] }$$

$$+ 1/2 ( { \delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ Z ] } ^ { T } \cdot {}_{... ...}_{t}^{t + \Delta t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ Z ] )$$ (7.74)

ここで、 $\delta {}_{t}^{t} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \delta {}^{t} \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right]$ は仮想変位勾配である。 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用いる。 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \delta {}^{t + \Delta t} u_x}{ {}^{t} x}$ とする。

まず、上式を増分分解する。

変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ を増分分解すると、

$${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$$ (7.75)

ここで、 $\Delta \{ u \}$ は変位増分である。

Green-Lagrange歪み ${}_{t}^{t + \Delta t} [ E ]$ を増分分解すると、

$${}_{t}^{t + \Delta t} [ E ] = \Delta {}_{t} [ E ] = \Delta {}_{t} [ E^L ] + \Delta {}_{t} [ E^{NL} ]$$ (7.76)

$\Delta {}_{t} [ E^L ]$ はGreen-Lagrange歪み増分の線形部分であり、 式 6.48 より、

$$\Delta {}_{t} [ E^L ] = \mathrm{sym} \; { \Delta {}_{t} [ Z ] }$$ (7.77)

ここで、 $\Delta {}_{t} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \Delta \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right]$ は変位勾配増分である。 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用いる。 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \Delta u_x}{ {}^{t} x}$ とする。

$\Delta {}_{t} [ E^{NL} ]$ はGreen-Lagrange歪み増分の非線形部分であり、 式 6.48 より、

$$\Delta {}_{t} [ E^{NL} ] = 1/2 { \Delta {}_{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \Delta {}_{t} [ Z ]$$ (7.78)

これら変位および歪みの変分をとると、

$$\delta {}^{t + \Delta t} \{ u \} = \delta \Delta \{ u \}$$ (7.79)

$$\delta {}_{t}^{t + \Delta t} [ E ] = \delta \Delta {}_{t} [ E ] = \delta \Delta {}_{t} [ E^L ] + \delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ]$$ (7.80)

$$\delta \Delta {}_{t} [ E^L ] = \mathrm{sym} \; { \delta \Delta {}_{t} [ Z ] }$$ (7.81)

$$\delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ] = 1/2 ( { \delta \Delta {}_{t} [ ... ..._{t} [ Z ] + { \Delta {}_{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{t} [ Z ] )$$ (7.82)

ここで、 $\delta \Delta {}_{t} [ Z ] = \left[ \frac{ \partial \delta \Delta \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right]$ は仮想変位勾配増分である。 $\delta \Delta {}_{t} [ E^L ]$ については、 ２次元、３次元問題では、それぞれ２次元、３次元テンソル量を用い、 軸対称問題の場合には、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \delta \Delta u_x}{ {}^{t} x}$ とする。

また、第２Piola-Kirchhoff応力を増分分解すると、

$${}_{t}^{t + \Delta t} [ S ] = {}_{t}^{t} [ S ] + \Delta {}_{t} [ S ] = {}^{t} [ \sigma ] + \Delta {}_{t} [ S ]$$ (7.83)

ここで、 ${}^{t} [ \sigma ] = {}_{t}^{t} [ S ]$ はCauchy応力、 $\Delta {}_{t} [ S ]$ は第２Piola-Kirchhoff応力増分である。

以上より、増分型の仮想仕事式は、

$$\int_{ {}^{t} v} \Delta {}_{t} [ S ] : ( \delta \Delta {}_{t} [ E... ...^{t} v} {}^{t} [ \sigma ] : \delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ] \mathrm{d} {}^{t} v$$

$$= \delta {}^{t + \Delta t} R - \int_{ {}^{t} v} {}^{t} [ \sigma ] : \delta \Delta {}_{t} [ E^L ] \mathrm{d} {}^{t} v$$ (7.84)

さらに、

$$\delta {}^{t + \Delta t} R$$

$$= \int_{ {}^{t} v} {}^{t + \Delta t} \{ b \} \cdot \delta \Delta \{... ...ist}} {}^{t + \Delta t} \{ t \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} {}^{t} s$$

$$- \int_{ {}^{t} v} {}^{t + \Delta t} \rho {}^{t + \Delta t} \{ a \} \cdot \delta \Delta \{ u \} \mathrm{d} {}^{t} v$$ (7.85)

次に、非線型項である最右辺の接線係数を求める。

まず、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta {}_{t} [ S ] }{ \Delta t } \to {}_{t}^{t} [ \dot{S} ]$$ (7.86)

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta \{ u \} }{ \Delta t } \to {}^{t} \{ \dot{u} \}$$ (7.87)

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \Delta {}_{t} [ Z ] }{ \Delta t } \to {}_{t}^{t} [ \dot{Z} ]$$ (7.88)

したがって、接線係数は、

$$\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{ \int_{ {}^{t} v} \Delta {}_{t} [ S... ... [ \sigma ] : \delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ] \mathrm{d} {}^{t} v }{ \Delta t }$$

$$\to \int_{ {}^{t} v} {}_{t}^{t} [ \dot{S} ] : \delta \Delta {}_{t... ...t} [ \sigma ] : ( \delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ] )^{\cdot} \mathrm{d} {}^{t} v$$ (7.89)

ここで、

$$( \delta \Delta {}_{t} [ E^{NL} ] )^{\cdot} = 1/2 ( { \delta \Del... ...ot{Z} ] + { {}_{t}^{t} [ \dot{Z} ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{t} [ Z ] )$$ (7.90)

もし、構成式に相対Kirchhoff応力のJaumann速度を用いる場合、 応力増分の式 7.61 より、 これを増分形にして、

$$\int_V ( {}_{t}^{t} [[ C ]] : \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] - \mathrm... ...\sigma ] \cdot \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] ) : \delta \Delta t [ D ] \mathrm{d} V$$

$$+ \int_V 1/2 {}^{t} [ \sigma ] : ( { \delta \Delta {}_{t} [ Z ] }... ...m{d} {}_{t}^{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{t} [ Z ] ) \mathrm{d} V$$ (7.91)

このとき、接線剛性行列は対称となる。

もし、構成式にCauchy応力のJaumann速度を用いる場合、 応力増分の式 7.62 より、

$$\int_V \{ {}_{t}^{t} [[ C ]] : \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] - \mathr... ...}^{t} [ D ] + ( \mathrm{tr} \; \mathrm{d} t {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ] \}$$

$$: \delta \Delta t [ D ] \mathrm{d} V$$

$$+ \int_V 1/2 {}^{t} [ \sigma ] : ( { \delta \Delta {}_{t} [ Z ] }... ...m{d} {}_{t}^{t} [ Z ] } ^ { T } \cdot \delta \Delta {}_{t} [ Z ] ) \mathrm{d} V$$ (7.92)

このとき、接線剛性行列は非対称となる。

なお、ここで用いられている変数としては、 材料定数、 時刻 $t$ でのすべての状態変数および、 荷重 ${}^{t + \Delta t} \{ b \}$ 、 ${}^{t + \Delta t} \{ t \}$ は既知であり、 ${}^{t + \Delta t} \{ u \} = {}^{t} \{ u \} + \Delta \{ u \}$ 、 ${}^{t + \Delta t} \{ a \}$ は未知であり、 一方、 $\delta \Delta \{ u \}$ は任意の値をとり、 $\delta \Delta [ Z ]$ は $\delta \Delta \{ u \}$ より導出される。

また、 時刻 $t + \Delta t$ での 変位 ${}^{t + \Delta t} \{ u \}$ 、 応力 ${}^{t + \Delta t} [ \sigma ]$ については、 各増分ステップごとに得られた 変位増分 $\Delta \{ u \}$ 、 応力増分 $\Delta [ \sigma ]$ を用いてそれぞれ更新していく。 このとき、応力増分の計算には Cauchy応力増分の式 7.63 を用いる。