解説

微小変形線形弾性での仮想仕事の原理式は、 （式 7.12 参照）

$$\int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \int_V {}^{t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V$$

$$+ \int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon^o ] : \delta {}^{t} [ \epsil... ...hrm{d} V - \int_V {}^{t} [ \sigma^o ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$+ \int_{S^{dist}} {}^{t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} S - \int_V \rho {}^{t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V$$ (11.28)

ここで、 左辺は仮想仕事量（歪みエネルギー）、 右辺第１項は体積力仕事、 右辺第２項は初期歪みによる見掛けの仕事、 右辺第３項は初期応力による見掛けの仕事、 右辺第４項は表面力仕事（分布荷重、圧力荷重、および集中荷重による仕事）、 右辺第５項は加速度による慣性力の仕事 である。

これに上記の未知数の有限要素補間式を代入すると、 （各項については、以下の各節で具体例に説明する。）

$$\sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \sum_{Jn} \sum_{Jd} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} U_{(Jn Jd)} K_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \sum_{Jn} \sum_{Jd} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} V_{(Jn Jd)} C_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \sum_{Jn} \sum_{Jd} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} A_{(Jn Jd)} M_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{body}}_{(In Id)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{\epsilon^o}}_{(In Id)}^{(Ie)}$$

$$- \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{\sigma^o}}_{(In Id)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{dist}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{pres}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{point}}_{(In Id)}$$ (11.29)

ここで、 要素 $Ie$ について、

$K_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$ は 要素剛性行列 $[ \mathbf{ K } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ 節点 $Jn$ 自由度 $Jd$ に関する成分である。

$C_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$ は 要素減衰行列 $[ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ 節点 $Jn$ 自由度 $Jd$ に関する成分である。

$M_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$ は 要素質量行列 $[ \mathbf{ M } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ 節点 $Jn$ 自由度 $Jd$ に関する成分である。

${}^{t} {F^{body}}_{(In Id)}^{(Ie)}$ は 要素体積力項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{body} } \} ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

${}^{t} {F^{\epsilon^o}}_{(In Id)}^{(Ie)}$ は 要素初期歪み項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{\epsilon^o} } \} ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

${}^{t} {F^{\sigma^o}}_{(In Id)}^{(Ie)}$ は 要素初期応力項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{\sigma^o} } \} ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

要素 $Ie$ の境界 $Ib$ について、

${}^{t} {F^{dist}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)}$ は 要素分布荷重項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

${}^{t} {F^{pres}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)}$ は 要素圧力荷重項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{pres} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

節点 $In$ について、

${}^{t} {F^{point}}_{(In Id)}$ は 全体集中荷重項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ F^{point} } \}$ の 節点 $In$ 自由度 $Id$ に関する成分である。

この式は、任意の仮想変位自由度 $\delta {}^{t} U_{(In Id)}$ について 成り立たねばならないから、すべての自由度 $(In Id)$ について、

$$\sum_{Ie} \sum_{Jn} \sum_{Jd} {}^{t} U_{(Jn Jd)} K_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Jn} \sum_{Jd} {}^{t} V_{(Jn Jd)} C_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Jn} \sum_{Jd} {}^{t} A_{(Jn Jd)} M_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} {}^{t} {F^{body}}_{(In Id)}^{(Ie)} + \sum_{Ie} {}^{t} {... ...epsilon^o}}_{(In Id)}^{(Ie)} - \sum_{Ie} {}^{t} {F^{\sigma^o}}_{(In Id)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} {F^{dist}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)} + \su... ... \sum_{Ib} {}^{t} {F^{pres}}_{(In Id)}^{(Ie Ib)} + {}^{t} {F^{point}}_{(In Id)}$$ (11.30)

すなわち、

$$\sum_{Ie} [ \mathbf{ K } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ U } \} + \s... ... \mathbf{ V } \} + \sum_{Ie} [ \mathbf{ M } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ A } \}$$

$$= \sum_{Ie} {}^{t} \{ \mathbf{ F^{body} } \} ^{(Ie)} + \sum_{Ie} {}... ...psilon^o} } \} ^{(Ie)} - \sum_{Ie} {}^{t} \{ \mathbf{ F^{\sigma^o} } \} ^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ F^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}... ...{}^{t} \{ \mathbf{ F^{pres} } \} ^{(Ie Ib)} + {}^{t} \{ \mathbf{ F^{point} } \}$$ (11.31)

ここで、 ${}^{t} \{ \mathbf{ U } \}$ 、 ${}^{t} \{ \mathbf{ V } \}$ 、 ${}^{t} \{ \mathbf{ A } \}$ はそれぞれ、 システム全体での変位、速度、加速度の列ベクトルである。

そして、最終的に上記の有限要素離散化式が得られる。