解説

仮想仕事式の初期応力項は、 （式 7.12 参照）

$$\int_V {}^{t} [ \sigma^o ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (11.49)

まず、 要素 $Ie$ 内の仮想歪み $\delta {}^{t} [ \epsilon ]$ は、 歪み変位式 6.75 と変位勾配の近似式 11.2 より、

$$\delta {}^{t} [ \epsilon ] = \sum_{In} \sum_{Id} [ N^{\epsilon} ] _{(In Id)} \delta {}^{t} U_{(In Id)}$$ (11.50)

これらを初期応力項に代入すると、

$$\int_V {}^{t} [ \sigma^o ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} \int_{V_{(Ie)}} {}^{t} [ \sigma^o ] : [ N^{\epsilon} ] _{(In Id)} \mathrm{d} V$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} {F^{\sigma^o}}_{(In Id)}$$ (11.51)