解説

仮想仕事式の仮想仕事項は、 （式 7.12 参照）

$$\int_V [[ C^e ]] : {}^{t} [ \epsilon ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (11.33)

要素 $Ie$ の剛性行列の各成分は、 以下のように求まる。

まず、 要素 $Ie$ 内の歪み ${}^{t} [ \epsilon ]$ は、 歪み変位式 6.75 と変位勾配の近似式 11.2 より、

$${}^{t} [ \epsilon ] = \sum_{In} \sum_{Id} [ N^{\epsilon} ] _{(In Id)} {}^{t} U_{(In Id)}$$ (11.34)

同様に、 要素 $Ie$ 内の仮想歪み $\delta {}^{t} [ \epsilon ]$ は、

$$\delta {}^{t} [ \epsilon ] = \sum_{In} \sum_{Id} [ N^{\epsilon} ] _{(In Id)} \delta {}^{t} U_{(In Id)}$$ (11.35)

これらを仮想仕事項に代入すると、

$$\int_V [[ C^e ]] : {}^{t} [ \epsilon ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \sum_{Jn} \sum_{Jd} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} U_{(Jn Jd)}$$

$$\int_{V_{(Ie)}} [[ C^e ]] : [ N^{\epsilon} ] _{(Jn Jd)} : [ N^{\epsilon} ] _{(In Id)} \mathrm{d} V$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Id} \sum_{Jn} \sum_{Jd} \delta {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} U_{(Jn Jd)} K_{(In Id) (Jn Jd)}^{(Ie)}$$ (11.36)